माना A = begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 2 & 2 & -1 | vedclass

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Question

(C) आव्यूह $A$ का अभिलक्षणिक समीकरण $|A - \lambda I| = 0$ द्वारा दिया जाता है। $3 	imes 3$ आव्यूह के लिए,अभिलक्षणिक समीकरण $\lambda^3 - 	ext{tr}(A)\

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$k = -1, \beta = 22$

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(C) आव्यूह $A$ का अभिलक्षणिक समीकरण $|A - \lambda I| = 0$ द्वारा दिया जाता है। $3 	imes 3$ आव्यूह के लिए,अभिलक्षणिक समीकरण $\lambda^3 - 	ext{tr}(A)\lambda^2 + (A_{11} + A_{22} + A_{33})\lambda - |A| = 0$ है,जहाँ $A_{ii}$ द्वितीय क्रम के मुख्य उपसारणिक हैं। दिया गया है कि $f(A) = 0$,अतः अभिलक्षणिक समीकरण $\lambda^3 - 2\lambda^2 - \alpha\lambda + \beta = 0$ है। ट्रेस की तुलना करने पर: $	ext{tr}(A) = 1 + 2 + k = 2 \Rightarrow 3 + k = 2 \Rightarrow k = -1$. अब,सारणिक $|A|$ की गणना करें: $|A| = 1(2k - 0) - 2(2k + 3) + 3(0 - 6) = 2k - 4k - 6 - 18 = -2k - 24$. $k = -1$ रखने पर: $|A| = -2(-1) - 24 = 2 - 24 = -22$. अभिलक्षणिक समीकरण में अचर पद $-|A|$ होता है,इसलिए $-\beta = -|A| \Rightarrow \beta = |A| = -22$. चूँकि समीकरण $f(x) = x^3 - 2x^2 - \alpha x + \beta = 0$ में अचर पद $\beta$ है,इसलिए $\beta = -(-22) = 22$. अतः,$k = -1$ और $\beta = 22$ प्राप्त होता है।

माना $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & -1 \\ 3 & 0 & k \end{bmatrix}$ और $f(x) = x^3 - 2x^2 - \alpha x + \beta = 0$ है। यदि $A$,$f(A) = 0$ को संतुष्ट करता है,तो:

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